2026-10-09
王的猜想，刚刚扩展到四维
今年7月，王虹与邓煜在费城国际数学家大会上获得了菲尔兹奖。
消息在网络上广泛传播的那段时间，Anthropic的员工Alek Dimitriev在X上发表了这样一条内容：
这一届的菲尔兹奖，将会是人类最后一次拿到这个奖项。
往届得主Timothy Gowers随后也跟帖，表示自己曾有过类似的感受。
不过这个过程会有延迟，所以我估计他们大概能坚持到2030年。
谁能想到……Gowers的预测可能还是太乐观了。
10月7日，OpenAI一次性发布了722篇数学手稿，论文和相关Lean证明全部上传到了Github。
其中编号074的一组只有两篇论文，正是王虹获奖的研究方向：挂谷猜想。
一篇声称证明了三维挂谷极大函数猜想，比王虹和Zahl证明的版本更为强大。
另一篇则声称证明了四维挂谷猜想。
这两篇手稿加起来共272页，作者栏只有两个字：OpenAI。
王虹与Joshua Zahl刚解决了三维挂谷集维数猜想，AI就将相关成果推进到了四维。
难道……今年这届菲尔兹奖，真的成了人类数学的最后一届吗？
OpenAI的两篇挂谷论文，具体研究了什么？
1917年，日本数学家挂谷宗一提出了一个问题：在平面上让一根长度为1的针旋转一圈，最少需要多大的面积？
Besicovitch给出了一个反直觉的答案：面积可以任意小。更令人惊讶的是，一个集合可以在每个方向上都容纳一根单位长度的针，但其面积却为零。
面积无法作为衡量标准，数学家便换了一种工具，用“维数”来度量。
这里的“维数”并非常规的长、宽、高概念。对于形状极不规则的集合，数学家会使用Hausdorff维数、Minkowski维数等工具，来评估它在不同尺度下的复杂程度。
一个集合的体积可以是0，但它仍可能拥有完整的空间维数。
挂谷猜想指的是：在n维空间里，只要一个集合在每个方向上都容纳得下一根单位线段，它的维数就必须是完整的n维。
难点在于，这些看似细长的线段如何交错、重叠，以及重叠之后能否进一步压缩集合。
平面情形在1971年就被Davies解决了；三维情形停滞了半个世纪，直到2025年2月被王虹和Joshua Zahl攻克。
四维及以上的情形，至今无人证明。
OpenAI这次公开的两篇手稿，分别处理了挂谷问题的两个版本。
第一篇：三维挂谷极大函数猜想
仍然是三维，但问题换成了难度更高的版本。
可以将其视为一个“管子重叠控制”问题：将许多根细长的管子放入三维空间，每根管子代表针的一个方向。
数学家要研究的是，当这些管子朝向各不相同方向时，它们能重叠到什么程度，以及能否用一个统一的估计来控制这种重叠。
王虹和Zahl证明的是“集合版”，研究的是这些针堆在一起至少占据多大空间。
而OpenAI证明的“极大函数版”则研究得更加细致：
将每根针加粗成一根细管子，假设每根管子里只有一部分是“实心”的，比例记为λ。所有实心部分并在一起，其体积能否保证不小于λ³这个量级？
λ越小，管子越空，越难控制。集合版只需要一个相对宽松的λ的幂次即可，极大函数版则要求这个幂次恰好是3。
这一点在OpenAI论文的引言中也明确提到：王虹和Zahl的定理给出的是λ的K(ε)次方，“换成λ³的需要”在他们定理之后已被明确提出。
也就是说，这是王虹和Zahl留下的下一步。而OpenAI这篇97页的论文，声称已将这一步完成。
这为何重要？因为挂谷极大函数将“各种方向的细管如何挤在一起”变成了可计算的分析问题。
它与傅里叶分析中的一些核心猜想相关联，长期以来被认为是理解波、频率和空间集中现象的重要工具。
1971年，Fefferman就是利用挂谷集合构造反例，证明了高维的球乘子除L²外都不具备有界性。此后，挂谷问题便与傅里叶限制猜想、Bochner-Riesz猜想紧密相连。
第二篇：四维挂谷集的Hausdorff维数
在四维方面，人类此前的研究进展如下：
1995年，Wolff用“发刷”方法证明维数至少为3；
后来Guth和Zahl用多项式方法推进到3+1/40，约3.025；
2019年，Katz和Zahl用“平面刷”推进到3.059；
之后的进展，基本都在小数点后第二三位上缓慢移动。
而OpenAI这篇175页的论文，声称直接证明到4。
四维难在哪里？Guth在综述中指出，王虹和Zahl三维证明中的关键定理，在四维中不再成立。
因为在高维空间里，管子可以聚集在低次代数曲面附近，形成三维中不存在的反例结构。
而OpenAI四维论文的核心工具针对了这一问题：利用二次多项式在不同尺度上进行局部拟合，追踪那些跨尺度持续聚集的线。
全文中，“polynomial”一词出现了213次。
还有一个细节：四维论文的关键输入之一，引用的正是三维那篇OpenAI论文中的一个引理。相当于两篇论文构成一条链路，三维的更强版本为四维铺平了道路。
因此可以说，它把王虹的成果向前推进了一大步。在三维上，将她的定理加强到了极大函数版本；在四维上，把一个卡在3点几的问题直接推到了4。
但这篇论文仍有局限性：四维只证明了Hausdorff维数版本，没有解决四维的极大函数猜想；五维及以上也没有完全证明，论文仅用投影给出了一个下界。
而且值得注意的是，074号这组成果没有经过Lean形式化，也没有通过同行评审。
OpenAI在README中写道：一些未经形式化的结果“可能存在问题”。
王虹做了什么？
有人说，王虹赶在AI之前获得菲尔兹奖，算是幸运。
真的是这样吗？
翻开OpenAI这两篇论文的全文，出现最多的名字之一就是王虹。
仅三维那篇，“Wang”就出现了23次。
三维挂谷这座山峰，人类数学家已经攀登了许多年。
Katz、Łaba和Tao很早就发现，近乎极端的管子构型会呈现三种结构：粘性、平面性、颗粒性。
但几十年里，没人能将它们整合成一个完整的证明。
王虹和Zahl分了三步走：
2022年，先证明了“粘性”挂谷集合的情形，后来发表在《美国数学会杂志》上。
2024年，攻克了Assouad维数版本。
2025年2月，发布了127页的完整证明，三维挂谷集合猜想的Hausdorff维数和Minkowski维数版本一起解决。
Nets Katz评价，这是“百年一遇的结果”。
同一时期，王虹还与任康解决了平面上的Furstenberg集合猜想，这也是调和分析中的一个老问题。
这些工作，现在都成了OpenAI论文的地基。
三维论文直接调用了Guth、王虹、Zahl三人的简化证明，Guth正是王虹在MIT读博时的导师；它还利用了任康和王虹的平面Furstenberg估计。
四维论文则用到了王虹和Zahl的一个点积定理。
如果两篇论文最终被确认成立，它们也是在王虹搭建的框架上，向上加盖了两层。
而且，王虹对AI的态度并非排斥。
获奖后接受采访时，她将AI形容为数学研究的“主动性助推器”，认为提出问题、创造概念、构建理论这些事，仍然是数学家的核心工作。
人类数学界，已经炸了……
现在，大概就是人类数学的**“危急存亡之秋”**了。
过去一个重要数学结果的生命周期大致是：一个人或一个小团队花好几年做出来，挂到arXiv，同行花一两年审稿，学界慢慢消化。
等结论水落石出，再过几年，奖项才最终敲定。
王虹和Zahl走完这条路，从2022年的粘性情形到2026年的菲尔兹奖，用了将近四年。
而OpenAI这次则在一夜之间发布了722篇数学手稿，平均每个结果大约用了三个小时的ChatGPT Pro思考算力，只有约42%的结果做了Lean形式化。
简直像在挑衅一样……
陶哲轩已经牵头人类数学协会（AHM）发布了一份重磅联合声明，全面抵制OpenAI。
其中措辞相当严厉：
数学家们并没有要求做这些工作。一次性发布700多个文件，展示的不是学术，而是权力。
声明最后强烈敦促所有数学家停止与OpenAI合作，回归以人类理解为核心的科学愿景。
陶哲轩本人一直是AI辅助研究的积极使用者，他反对的是将批量攻克著名难题当作产品展示。
在他看来，一道题被AI解决，就无法再变回未解决的状态，人类数学家原本可能在这道题上发展出的新方法和新理解，也就随之中断了。
而且现在，审稿成了最大的瓶颈。
一篇175页的四维挂谷证明，全世界能认真读懂的人屈指可数，谁来读、花多久、算谁的工作量，这些答案都尚未可知。
署名和归属也开始变得混乱。研究同一问题的学者，可能一觉醒来，就发现自己做了几年的题目已经被一个模型“声称”解决了。
这些AI生成的证明，是否正确还没人知道，但选题已经很难再做下去。
当然，也有人感到兴奋。
例如多伦多大学的数学助理教授Daniel Litt，认为数学家接下来有大量激动人心的工作要做。
Yann LeCun也认为，恰恰相反，数学正在迎来新时代。
形式证明将大幅自动化，重点将转向发展新概念、新抽象、新定义和新猜想。
船的发明降低了游泳的重要性，却让我们发现了新大陆。
数学界正处在新旧秩序剧烈碰撞的关口，旧的研究方式受到冲击，新的轨道还没有成形。
未来会走向哪里，眼下还没有答案。但我们更愿意相信：沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春。
Gowers说，人类大概能坚持到2030年，而下一届菲尔兹奖，恰好就在2030年颁发。
到那时，还会有人类站上领奖台吗？
参考链接：
[1]https://x.com/Xudong07452910/status/2108004449482572022
本文来自微信公众号“量子位”，作者：听雨，36氪经授权发布。
2018年4月9日
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